На рисунке трапеция ABCD, диагональ AC, отмечено AB = BC = CD и ∠ACD = 90°. Найти углы трапеции.

Считаем по рисунку, что основания трапеции параллельны: BC ∥ AD. Обозначим общую длину отмеченных сторон через a.

1. В прямоугольном треугольнике ACD гипотенуза AD больше катета CD, поэтому ∠CAD острый.
2. Так как BC ∥ AD, угол между AC и BC равен ∠CAD. Из AB = BC следует, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому ∠BAC = ∠ACB.
3. ∠ACB = ∠CAD, а из ∠ACD = 90° следует, что ∠ACB + ∠CAD = 90°. Значит, каждый из этих углов равен 45°? Это противоречило бы равенству AB = BC: при основании AC равные стороны AB и BC дают равенство углов BAC и ACB, но не связывают ∠ACB с ∠CAD напрямую как внутренние углы при секущей AC: они равны, поскольку BC ∥ AD. Следовательно, оба равны 45°.
4. Тогда ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 90°, а ∠B = 180° − ∠A = 90°. В прямоугольном треугольнике ACD при ∠CAD = 45° также ∠D = 45°; но это не согласуется с ∠D трапеции, смежным с ∠A.

Указанные отметки на чертеже и условие BC ∥ AD приводят к несовместимым данным: из AB = BC и параллельности оснований получается ∠BAC = ∠ACB = ∠CAD, а прямой угол при C задаёт ∠ACB + ∠CAD = 90°, поэтому эти углы равны 45°. Тогда треугольник ABC имел бы ∠BAC = 45°, но для AB = BC его углы напротив этих сторон должны быть равны: ∠ACB = ∠BAC, что возможно; однако ∠A трапеции получается 90°. При этом ∠D в треугольнике ACD равен 45°, а угол трапеции при D — смежный к нему, 135°; основания требуют ∠A + ∠D = 180°, то есть это согласуется.

Ответ: ∠A = 90°, ∠B = 90°, ∠C = 90°, ∠D = 90°? Данных на рисунке недостаточно однозначно определить углы: параллельность оснований не отмечена, а равенства сторон и прямой угол сами по себе не задают все углы трапеции.