На рисунке трапеция ABCD, диагональ AC; отмечено AB = BC = CD и ∠ACD = 90°. Найти угол трапеции.

Если считать, что основания трапеции параллельны, то есть BC ∥ AD, по отмеченным равенствам получаем AB = CD: трапеция равнобедренная. Обозначим BC = AB = CD = a.

1. Пусть горизонтальный сдвиг от B до проекции A на прямую BC равен x, а высота трапеции — h. Из равенства боковых сторон горизонтальный сдвиг от C до D также равен x.
2. В прямоугольном треугольнике ACD катеты AC и CD перпендикулярны, поэтому из координатного скалярного произведения следует h² = x(a + x). Также AB² = x² + h² = a².
3. Подставляем: x² + x(a + x) = a², откуда 2x² + ax − a² = 0. Положительное решение: x = a/2; тогда h = √3a/2.
4. Угол между основанием BC и боковой стороной BA равен 120°, поскольку направление BA образует с направлением вправо угол 240° (меньший угол между сторонами — 120°). Смежный с ним угол при A равен 60°. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Ответ: ∠B = ∠C = 120°, ∠A = ∠D = 60°. Если имелся в виду угол при верхнем основании — он равен 120°.

Этот вывод предполагает, что BC и AD — параллельные основания трапеции; на рисунке параллельность отдельно не отмечена.