На середине однородной доски лежит кирпич, масса которого 2,5 кг. Для того, чтобы приподнять доску за её правый край, потребовалось приложить минимальную вертикально направленную силу 50 Н. Чему равна масса доски?

Решение:

Пусть \( m_к \) — масса кирпича, \( m_д \) — масса доски. Сила, которую нужно приложить, чтобы приподнять доску за правый край, равна 50 Н. Эта сила уравновешивает момент силы тяжести кирпича и момент силы тяжести доски относительно точки опоры (правого края доски).

Дано:

• \( m_к = 2,5 \) кг
• \( F = 50 \) Н
• \( g ≈ 10 \) м/с²

Найти:

• \( m_д \) — ?

Решение:

1. Сила тяжести кирпича: \( F_{тк} = m_к ⋅ g \)
2. Сила тяжести доски: \( F_{тд} = m_д ⋅ g \)
3. Плечо силы тяжести кирпича относительно точки опоры (правого края доски) равно половине длины доски. Обозначим длину доски как \( L \). Тогда плечо \( r_к = L/2 \).
4. Плечо силы тяжести доски относительно точки опоры равно нулю, так как центр тяжести доски находится в точке опоры (правом крае). \( r_д = 0 \).
5. Условие равновесия моментов: \( F ⋅ L = F_{тк} ⋅ r_к + F_{тд} ⋅ r_д \)
6. Так как \( F_{тд} ⋅ r_д = 0 \), то \( F ⋅ L = F_{тк} ⋅ r_к \)
7. Подставим значения: \( 50 ⋅ L = (2,5 ⋅ 10) ⋅ (L/2) \)
8. \( 50 ⋅ L = 25 ⋅ (L/2) \)
9. \( 50 ⋅ L = 12,5 ⋅ L \)
10. Отсюда следует, что \( 50 = 12,5 \), что неверно. Проблема в том, что сила 50 Н прикладывается к концу доски, а кирпич лежит посередине.
11. Рассмотрим моменты сил относительно точки опоры (правый край доски):
12. Момент силы тяжести кирпича: \( M_к = F_{тк} ⋅ r_к = (m_к ⋅ g) ⋅ (L/2) \), где \( L \) — длина доски.
13. Момент силы тяжести доски: \( M_д = F_{тд} ⋅ r_д = (m_д ⋅ g) ⋅ (L/2) \), так как центр масс однородной доски находится посередине.
14. Сила \( F = 50 \) Н приложена к левому концу доски (длиной \( L \)), создавая момент \( M_F = F ⋅ L \) против часовой стрелки.
15. Для приподнятия доски минимальная приложенная сила должна уравновешивать суммарный момент сил тяжести: \( M_F = M_к + M_д \)
16. \( F ⋅ L = (m_к ⋅ g) ⋅ (L/2) + (m_д ⋅ g) ⋅ (L/2) \)
17. Сократим \( L \) из обеих частей уравнения (длина доски не равна нулю): \( F = (m_к ⋅ g)/2 + (m_д ⋅ g)/2 \)
18. \( 50 = (2,5 ⋅ 10)/2 + (m_д ⋅ 10)/2 \)
19. \( 50 = 25/2 + 5 m_д \)
20. \( 50 = 12,5 + 5 m_д \)
21. \( 5 m_д = 50 - 12,5 \)
22. \( 5 m_д = 37,5 \)
23. \( m_д = 37,5 / 5 \)
24. \( m_д = 7,5 \) кг

Ответ: масса доски равна 7,5 кг.