Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика169. На серединном перпендикуляре стороны АС треугольника АВС отмечена такая точка О, что ОС ОВ. Докажите, что точка О - центр окружности, описанной около треугольника АВС. 170. Найдите высоту равностороннего треугольника, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 12 см. 171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 2:3, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его боковая сторона равна 15 см.
Ответ:
169.
Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от концов этого отрезка. Значит, \(OA = OC\). По условию, \(OC = OB\). Следовательно, \(OA = OB = OC\). Таким образом, точка \(O\) равноудалена от всех вершин треугольника \(ABC\), а это означает, что она является центром окружности, описанной около этого треугольника.
170.
Пусть \(R\) - радиус описанной окружности, \(a\) - сторона равностороннего треугольника, \(h\) - высота треугольника.
Известно, что для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен:
\[R = \frac{a}{\sqrt{3}}\]Тогда сторона треугольника равна:
\[a = R\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\]Высота равностороннего треугольника связана со стороной следующим образом:
\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]Подставляем значение \(a\):
\[h = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18\]Ответ: 18 см
171.
Пусть дан равнобедренный треугольник \(ABC\), где \(AB = BC = 15\) см. Точка касания \(K\) делит боковую сторону \(BC\) в отношении \(2:3\), считая от вершины \(B\). Следовательно, \(BK:KC = 2:3\).
Тогда \(BK = \frac{2}{5} \cdot BC = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6\) см, и \(KC = \frac{3}{5} \cdot BC = \frac{3}{5} \cdot 15 = 9\) см.
Пусть \(M\) - точка касания окружности со стороной \(AC\). Тогда \(AM = AC\) (свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности). Обозначим \(AC = x\).
Так как \(AK = AM\), то \(AK = x\). Тогда \(MC = KC = 9\) см.
Теперь \(AC = AM + MC\), то есть \(AC = x\), и \(AC = 2MC = 2 \cdot 9 = 18\) см.
Ответ: 18 см
