На схеме изображён электрический контур в форме квадрата. Все четыре стороны квадрата и обе его диагонали – проволочные отрезки с одинаковыми сопротивлениями R = 1 Ом. Центральная точка квадрата является узлом и делит проволочные отрезки диагоналей пополам. Систему подключают к источнику постоянного тока к точкам А и В. Найдите, на сколько процентов уменьшится общее сопротивление контура после замыкания ключа К. Проволочный отрезок ВС диагонали квадрата с замкнутым ключом К имеет сопротивление R = 1 Ом. Ответ округлите до целого числа.

Решение:

Давай разберем эту задачу по физике. Сначала рассмотрим случай без ключа K, а затем с ключом. Нам нужно найти, на сколько процентов уменьшится общее сопротивление контура после замыкания ключа K.

1. Сопротивление контура без ключа K:

В исходной схеме (без ключа K) у нас есть квадрат со сторонами и диагоналями, каждая из которых имеет сопротивление R = 1 Ом. Ток входит в точку A и выходит из точки B.

Давай рассмотрим эквивалентную схему:

• Между точками A и B есть два параллельных пути:
• Первый путь: AD + DB = 1 Ом + 1 Ом = 2 Ом
• Второй путь: AC + CB = 1 Ом + 1 Ом = 2 Ом
• Также между точками A и B есть диагональ AB = 1 Ом.
• И две половинки диагоналей, соединенные в центре квадрата, каждая половинка имеет сопротивление 0.5 Ом.

Теперь перерисуем схему, учитывая эти сопротивления.

Сопротивление между A и B можно рассчитать так: Давай обозначим сопротивление диагонали AC как R_AC, а DB как R_DB.

Сопротивление между A и B можно рассчитать как параллельное соединение двух ветвей: (R_AC + R_CB) и (R_AD + R_DB), а также диагонали AB.

Сопротивление ветви AC + CB = 1 + 1 = 2 Ом.

Сопротивление ветви AD + DB = 1 + 1 = 2 Ом.

Тогда общее сопротивление этих двух ветвей, соединенных параллельно, равно:

\[\frac{1}{R_{верх}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\]

Значит, R_верх = 1 Ом.

Теперь у нас есть 1 Ом (от R_верх) параллельно с диагональю AB (1 Ом). Общее сопротивление будет:

\[\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 2\]

R_AB = 0.5 Ом.

Итого, начальное сопротивление контура между точками A и B без ключа K равно 0.5 Ом.

2. Сопротивление контура с замкнутым ключом K:

Когда мы замыкаем ключ K, мы добавляем проводник с сопротивлением 1 Ом между точкой C и точкой на диагонали BD (обозначим её O, центр квадрата).

Теперь у нас есть два параллельных пути от C до O:

• Через ключ K: R = 1 Ом
• Через половину диагонали CO: R = 0.5 Ом

Сопротивление этих двух параллельных путей равно: \[\frac{1}{R_{CO}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{0.5} = 1 + 2 = 3\] R_CO = 1/3 Ом

Схема с замкнутым ключом выглядит так:

• A --- C (1 Ом) --- O (1/3 Ом) --- B (0.5 Ом)
• A --- D (1 Ом) --- B (1 Ом)
• A --- B (1 Ом)

Сопротивление пути A через C к O и затем к B: 1 Ом (AC) + 1/3 Ом (CO) + 0.5 Ом (OB) = 1 + 1/3 + 1/2 = 6/6 + 2/6 + 3/6 = 11/6 Ом.

Есть путь ADB = 2 Ом.

И прямой путь AB = 1 Ом.

Теперь нужно найти общее сопротивление параллельного соединения этих трех путей:

\[\frac{1}{R_{общ}} = \frac{6}{11} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1} = \frac{12 + 11 + 22}{22} = \frac{45}{22}\]

R_общ = 22/45 ≈ 0.489 Ом.

3. Расчет изменения сопротивления:

Изначальное сопротивление: 0.5 Ом

Сопротивление после замыкания ключа: 0.489 Ом

Уменьшение сопротивления: 0.5 - 0.489 = 0.011 Ом

Процент уменьшения: (0.011 / 0.5) * 100% = 2.2%

Округляем до целого числа: 2%

Ответ: 2