На сколько градусов нагреется медный проводник с площадью сечения 3 мм², если сила тока, проходящего через него в течение 2 минут, равна 3 А? Запиши ответ числом, округлив его до сотых.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для количества теплоты, выделяемого проводником при прохождении тока:

• \[ Q = I^2 R t \]

где:

• \[ Q \] — количество теплоты (Дж)
• \[ I \] — сила тока (А)
• \[ R \] — сопротивление проводника (Ом)
• \[ t \] — время (с)

Количество теплоты также связано с изменением температуры:

• \[ Q = c m \Delta T \]

где:

• \[ c \] — удельная теплоемкость материала (Дж/(кг·°C))
• \[ m \] — масса проводника (кг)
• \[ \Delta T \] — изменение температуры (°C)

Из этих двух формул следует:

• \[ I^2 R t = c m \Delta T \]

Нам нужно найти \[ \Delta T \]. Для этого выразим его:

• \[ \Delta T = \frac{I^2 R t}{c m} \]

Теперь нам нужно определить неизвестные параметры:

1. Сопротивление (R):\[ R = \rho \frac{L}{S} \]где \[ \rho \] — удельное сопротивление материала, \[ L \] — длина проводника, \[ S \] — площадь поперечного сечения.
2. Масса (m):\[ m = \rho_{плотности} V = \rho_{плотности} S L \]где \[ \rho_{плотности} \] — плотность материала.

Подставим эти выражения для R и m в формулу для \[ \Delta T \]:

• \[ \Delta T = \frac{I^2 (\rho \frac{L}{S}) t}{c (\rho_{плотности} S L)} \]
• \[ \Delta T = \frac{I^2 \rho t}{c \rho_{плотности} S^2} \]

Теперь подставим известные значения:

• \[ I = 3 \text{ А} \]
• \[ t = 2 \text{ минуты} = 2 \times 60 \text{ с} = 120 \text{ с} \]
• \[ S = 3 \text{ мм}^2 = 3 \times 10^{-6} \text{ м}^2 \]

Значения для меди:

• \[ \rho = 1.68 \times 10^{-8} \text{ Ом} · \text{м} \] (удельное сопротивление)
• \[ c = 385 \text{ Дж/(кг} · \text{°C)} \] (удельная теплоемкость)
• \[ \rho_{плотности} = 8960 \text{ кг/м}^3 \] (плотность)

Теперь подставим все значения в формулу для \[ \Delta T \]:

• \[ \Delta T = \frac{(3 \text{ А})^2 \times (1.68 \times 10^{-8} \text{ Ом} · \text{м}) \times 120 \text{ с}}{(385 \text{ Дж/(кг} · \text{°C)}) \times (8960 \text{ кг/м}^3) \times (3 \times 10^{-6} \text{ м}^2)^2} \]
• \[ \Delta T = \frac{9 \times 1.68 \times 10^{-8} \times 120}{385 \times 8960 \times 9 \times 10^{-12}} \]
• \[ \Delta T = \frac{1.8144 \times 10^{-6}}{3.109 \times 10^{-4}} \]
• \[ \Delta T \approx 0.0058358 \text{ °C} \]

Округляем до сотых:

• \[ \Delta T \approx 0.01 \text{ °C} \]

Ответ: 0.01 °C