На сколько изменится сопротивление участка цепи АВ, изображённого на рисунке, если ключ К замкнуть? Сопротивление каждого резистора равно R = 4 Ом.

Решение:

Для начала определим сопротивление участка АВ до замыкания ключа К.

В этом случае резисторы, расположенные вертикально, соединены параллельно. Их общее сопротивление \( R_{паралл} \) рассчитывается по формуле:

\[ \frac{1}{R_{паралл}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R} \]\[ R_{паралл} = \frac{R}{2} \]

Таким образом, до замыкания ключа общее сопротивление участка АВ равно:

\[ R_{AB, до} = R + R_{паралл} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2} \]

Теперь рассмотрим случай, когда ключ К замкнут. В этом случае к двум параллельно соединённым резисторам добавляется ещё один резистор, включённый параллельно им.

Схема будет выглядеть так: верхний резистор (R) последовательно соединён с двумя параллельными ветвями. В каждой из этих ветвей находятся резисторы, а в одной из них — ещё и ключ К, который теперь замкнут. Когда ключ К замкнут, ток проходит через оба резистора в этой ветви. Однако, благодаря тому, что ключ К находится в одной из ветвей, он создает короткое замыкание на одном из резисторов.

Правильный анализ при замкнутом ключе:

Когда ключ К замкнут, он создает короткое замыкание для одного из двух вертикально расположенных резисторов. То есть, один из резисторов R будет шунтирован (закорочен) ключом. Таким образом, останется только один резистор R, включённый параллельно верхнему резистору R. Итоговая схема будет состоять из двух резисторов R, соединённых параллельно.

Общее сопротивление участка АВ после замыкания ключа К:

\[ R_{AB, после} = R \parallel R = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2} \]

Теперь найдём изменение сопротивления:

\[ \Delta R = R_{AB, до} - R_{AB, после} = \frac{3R}{2} - \frac{R}{2} = \frac{2R}{2} = R \]

Подставим значение R = 4 Ом:

\[ \Delta R = 4 \text{ Ом} \]

Ответ: 4 Ом.