На соревнованиях по бадминтону было проведено 120 поединков. Сколько спортсменов участвовало в соревнованиях, если известно, что каждый сыграл с каждым по одному разу?

Для решения задачи воспользуемся формулой числа сочетаний:

$$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$$, где

• ( n ) – количество спортсменов,
• ( C_n^2 ) – количество игр.

Нам известно, что ( C_n^2 = 120 ). Подставим это значение в формулу и решим уравнение относительно ( n ):

$$\frac{n(n-1)}{2} = 120$$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$n(n-1) = 240$$

Раскроем скобки:

$$n^2 - n = 240$$

Перенесем все в левую часть:

$$n^2 - n - 240 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант ( D = b^2 - 4ac ), где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -240 ):

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$$

Найдем корни уравнения:

$$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{961}}{2} = \frac{1 + 31}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ $$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{961}}{2} = \frac{1 - 31}{2} = \frac{-30}{2} = -15$$

Так как количество спортсменов не может быть отрицательным, то подходит только положительный корень:

$$n = 16$$

Следовательно, в соревнованиях участвовало 16 спортсменов.

Ответ: 16