24. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

Доказательство: Обозначим высоту трапеции как h, а среднюю линию как m. Известно, что $$m = \frac{AD + BC}{2}$$. Площадь трапеции ABCD равна: $$S_{ABCD} = m \cdot h = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$$ Высота треугольника BFC, проведенная из вершины F к основанию BC, равна половине высоты трапеции, то есть $$\frac{h}{2}$$. Аналогично, высота треугольника AFD, проведенная из вершины F к основанию AD, также равна $$\frac{h}{2}$$. Площадь треугольника BFC равна: $$S_{BFC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{h}{2} = \frac{BC \cdot h}{4}$$ Площадь треугольника AFD равна: $$S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{2} = \frac{AD \cdot h}{4}$$ Сумма площадей треугольников BFC и AFD равна: $$S_{BFC} + S_{AFD} = \frac{BC \cdot h}{4} + \frac{AD \cdot h}{4} = \frac{(AD + BC) \cdot h}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(AD + BC) \cdot h}{2} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$ Таким образом, сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции ABCD, что и требовалось доказать.