17. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку К. Докажите, что сумма площадей треугольников ВКС и AKD равна половине площади трапеции. 18. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку Г. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции. 19. Точка Е – середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что

Задача 17

Докажем, что сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции.

Пусть MN - средняя линия трапеции ABCD, где M лежит на AB, а N лежит на CD, и K - произвольная точка на MN.

Площадь треугольника BKC можно выразить как: S_BKC = (1/2) * BC * h₁, где h₁ - высота треугольника BKC, опущенная из точки K на сторону BC.

Площадь треугольника AKD можно выразить как: S_AKD = (1/2) * AD * h₂, где h₂ - высота треугольника AKD, опущенная из точки K на сторону AD.

Так как K лежит на средней линии трапеции, то сумма высот h₁ + h₂ равна высоте трапеции h, то есть h₁ + h₂ = h.

Сумма площадей треугольников BKC и AKD равна: S_BKC + S_AKD = (1/2) * BC * h₁ + (1/2) * AD * h₂ = (1/2) * (BC * h₁ + AD * h₂).

Пусть h₁ = h₂ = h/2 (так как K лежит на средней линии).

S_BKC + S_AKD = (1/2) * BC * (h/2) + (1/2) * AD * (h/2) = (1/4) * (BC + AD) * h.

Площадь трапеции ABCD равна: S_ABCD = (1/2) * (AD + BC) * h.

Сравним сумму площадей треугольников и площадь трапеции: (1/4) * (BC + AD) * h = (1/2) * S_ABCD

Таким образом, сумма площадей треугольников BKC и AKD равна половине площади трапеции ABCD.

Задача 18

Доказательство полностью аналогично доказательству в задаче 17. Заменим только точку K на точку F.

Пусть MN - средняя линия трапеции ABCD, где M лежит на AB, а N лежит на CD, и F - произвольная точка на MN.

Площадь треугольника BFC можно выразить как: S_BFC = (1/2) * BC * h₁, где h₁ - высота треугольника BFC, опущенная из точки F на сторону BC.

Площадь треугольника AFD можно выразить как: S_AFD = (1/2) * AD * h₂, где h₂ - высота треугольника AFD, опущенная из точки F на сторону AD.

Так как F лежит на средней линии трапеции, то сумма высот h₁ + h₂ равна высоте трапеции h, то есть h₁ + h₂ = h.

Сумма площадей треугольников BFC и AFD равна: S_BFC + S_AFD = (1/2) * BC * h₁ + (1/2) * AD * h₂ = (1/2) * (BC * h₁ + AD * h₂).

Пусть h₁ = h₂ = h/2 (так как F лежит на средней линии).

S_BFC + S_AFD = (1/2) * BC * (h/2) + (1/2) * AD * (h/2) = (1/4) * (BC + AD) * h.

Площадь трапеции ABCD равна: S_ABCD = (1/2) * (AD + BC) * h.

Сравним сумму площадей треугольников и площадь трапеции: (1/4) * (BC + AD) * h = (1/2) * S_ABCD

Таким образом, сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции ABCD.

Задача 19

В задаче не хватает условия, что нужно доказать. Пожалуйста, предоставьте полную версию задания.

Ответ: Доказано