На станках изготовляют детали по стандартным размерам. Для определения точности работы станков случайным образом выбирают 10 деталей и производят их измерения (в данном случае – длина детали в мм). С использованием алгоритма вычисления дисперсии и среднего квадратического отклонения сравните точности двух станков по отклонениям от стандарта, приведённым в таблице.

Для сравнения точности двух станков необходимо вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение для каждого станка.

Дисперсия (Variance) характеризует разброс значений относительно среднего значения. Чем меньше дисперсия, тем выше точность станка.

Среднее квадратическое отклонение (Standard Deviation) – это квадратный корень из дисперсии. Оно также показывает, насколько сильно значения отклоняются от среднего.

1. Вычисление среднего значения для каждого станка:

Станок I:

$$\bar{x}_1 = \frac{0.5 + 0.3 - 0.2 + 0.4 - 0.5 - 0.2 + 0.3 + 0.6 - 0.3 + 0.1}{10} = \frac{1.0}{10} = 0.1$$

Станок II:

$$\bar{x}_2 = \frac{-0.5 - 0.4 + 0 - 0.3 - 0.1 + 0.2 + 0.5 + 0.1 + 0.3 + 0.5}{10} = \frac{0.3}{10} = 0.03$$

2. Вычисление дисперсии для каждого станка:

Станок I:

$$ D_1 = \frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x}_1)^2}{10} = \frac{(0.5-0.1)^2 + (0.3-0.1)^2 + (-0.2-0.1)^2 + (0.4-0.1)^2 + (-0.5-0.1)^2 + (-0.2-0.1)^2 + (0.3-0.1)^2 + (0.6-0.1)^2 + (-0.3-0.1)^2 + (0.1-0.1)^2}{10} = \frac{0.16 + 0.04 + 0.09 + 0.09 + 0.36 + 0.09 + 0.04 + 0.25 + 0.16 + 0}{10} = \frac{1.28}{10} = 0.128 $$

Станок II:

$$ D_2 = \frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x}_2)^2}{10} = \frac{(-0.5-0.03)^2 + (-0.4-0.03)^2 + (0-0.03)^2 + (-0.3-0.03)^2 + (-0.1-0.03)^2 + (0.2-0.03)^2 + (0.5-0.03)^2 + (0.1-0.03)^2 + (0.3-0.03)^2 + (0.5-0.03)^2}{10} = \frac{0.2809 + 0.1849 + 0.0009 + 0.1089 + 0.0169 + 0.0289 + 0.2209 + 0.0049 + 0.0729 + 0.2209}{10} = \frac{1.1301}{10} = 0.11301 $$

3. Вычисление среднего квадратического отклонения для каждого станка:

Станок I:

$$\sigma_1 = \sqrt{D_1} = \sqrt{0.128} \approx 0.3578$$

Станок II:

$$\sigma_2 = \sqrt{D_2} = \sqrt{0.11301} \approx 0.3362$$

4. Сравнение:

Дисперсия станка I: 0.128

Дисперсия станка II: 0.11301

Среднее квадратическое отклонение станка I: 0.3578

Среднее квадратическое отклонение станка II: 0.3362

Вывод:

Так как дисперсия и среднее квадратическое отклонение для станка II меньше, чем для станка I, станок II работает точнее.