На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD отметили соответственно точки R, M, F и N так, что MN ⟂ RF. Найдите длину отрезка RF, если AB = 4, MN = 5.

Обозначим сторону квадрата через a, а точки на его сторонах — координатами R = (r, 0), M = (a, m), F = (f, a), N = (0, n). Тогда векторы MN = (−a, n − m) и RF = (f − r, a).

Из условия MN ⟂ RF следует, что их скалярное произведение равно нулю: −a(f − r) + a(n − m) = 0. Поскольку a ≠ 0, получаем f − r = n − m.

Поэтому длины отрезков равны: RF² = (f − r)² + a² = (n − m)² + a² = MN². Значит, RF = MN.

Ответ: RF = 5.