На сторонах \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно. Известно, что \(AM : AB = 3:7\) и \(AN : AC = 3 : 5\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), если площадь треугольника \(AMN\) равна 18.

Давай решим эту задачу вместе. Нам нужно найти площадь треугольника \(ABC\), зная площадь треугольника \(AMN\) и отношения сторон. 1. Запишем известные отношения: \(\frac{AM}{AB} = \frac{3}{7}\) \(\frac{AN}{AC} = \frac{3}{5}\) 2. Вспомним формулу для площади треугольника: Площадь треугольника можно выразить как половину произведения двух сторон на синус угла между ними: \(S = \frac{1}{2}ab\sin(\alpha)\) 3. Выразим площади треугольников \(AMN\) и \(ABC\) через эту формулу: Для треугольника \(AMN\): \(S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin(\angle A) = 18\) Для треугольника \(ABC\): \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)\) 4. Найдем отношение площадей треугольников: Разделим площадь треугольника \(AMN\) на площадь треугольника \(ABC\): \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC}\) Подставим известные значения отношений: \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{35}\) 5. Найдем площадь треугольника \(ABC\): Мы знаем, что \(S_{AMN} = 18\), поэтому: \(\frac{18}{S_{ABC}} = \frac{9}{35}\) Отсюда: \(S_{ABC} = \frac{18 \cdot 35}{9} = 2 \cdot 35 = 70\) Ответ: Площадь треугольника \(ABC\) равна 70.