На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM = 6, MB = 8, AN = 4 и NC = 12. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AMN равна 9.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Найдём длины сторон большого треугольника:

\(AB=AM+MB=6+8=14\), \(AC=AN+NC=4+12=16\).

Треугольники AMN и ABC имеют общий угол A, поэтому отношение их площадей равно произведению отношений прилежащих сторон:

\(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AN}{AC}=\frac{6}{14}\cdot\frac{4}{16}=\frac{3}{28}\).

Подставим \(S_{AMN}=9\):

\(\frac{9}{S_{ABC}}=\frac{3}{28}\), откуда \(S_{ABC}=9\cdot\frac{28}{3}=84\).

Ответ: 84.