На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены точки M и N. Известно, что M – середина стороны AB, a BN : NC = 2:5. Найдите площадь треугольника MND, если площадь параллелограмма ABCD равна 476.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. 1. Анализ условия * У нас есть параллелограмм \(ABCD\). * Точка \(M\) – середина стороны \(AB\). * Отношение \(BN : NC = 2 : 5\). * Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна 476. Нам нужно найти площадь треугольника \(MND\). 2. Введение обозначений Обозначим площадь параллелограмма \(ABCD\) как \(S_{ABCD}\). 3. Выражение площадей * Так как \(M\) – середина \(AB\), то \(AM = MB = \frac{1}{2} AB\). * Так как \(BN : NC = 2 : 5\), то \(BN = \frac{2}{7} BC\) и \(NC = \frac{5}{7} BC\). 4. Площадь треугольника AMD Площадь треугольника \(AMD\) равна половине произведения основания \(AM\) на высоту параллелограмма. Поскольку \(AM = \frac{1}{2} AB\), то площадь треугольника \(AMD\) равна \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} AB \cdot h = \frac{1}{4} S_{ABCD}\), где \(h\) – высота параллелограмма. \(S_{AMD} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \cdot 476 = 119\) 5. Площадь треугольника CDN Площадь треугольника \(CDN\) равна половине произведения основания \(NC\) на высоту параллелограмма. Поскольку \(NC = \frac{5}{7} BC\), то площадь треугольника \(CDN\) равна \(\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{7} BC \cdot h = \frac{5}{14} S_{ABCD}\). \(S_{CDN} = \frac{5}{14} S_{ABCD} = \frac{5}{14} \cdot 476 = 170\) 6. Площадь треугольника MBN Площадь треугольника \(MBN\) равна половине произведения \(MB\) на \(BN\) и на синус угла \(B\). Поскольку \(MB = \frac{1}{2} AB\) и \(BN = \frac{2}{7} BC\), то площадь треугольника \(MBN\) равна \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} AB \cdot \frac{2}{7} BC \cdot sin(B) = \frac{1}{14} S_{ABCD}\). \(S_{MBN} = \frac{1}{14} S_{ABCD} = \frac{1}{14} \cdot 476 = 34\) 7. Площадь треугольника MND Площадь треугольника \(MND\) можно найти, вычитая из площади параллелограмма площади треугольников \(AMD\), \(CDN\) и \(MBN\). \(S_{MND} = S_{ABCD} - S_{AMD} - S_{CDN} - S_{MBN} = 476 - 119 - 170 - 34 = 153\) Ответ: Площадь треугольника \(MND\) равна 153.