На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD взяты точки K и M так, что AKCM — ромб. Диагональ AC составляет со стороной AB угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника равна 3.

Так как угол между диагональю AC и стороной AB равен 30°, наибольшая сторона прямоугольника — AB.

Из прямоугольного треугольника ABC: \(AC=\frac{AB}{\cos 30^\circ}=\frac{3}{\sqrt{3}/2}=2\sqrt{3}\).

AC — диагональ ромба AKCM. Диагональ ромба биссектрисой делит угол при вершине A пополам, поэтому угол между AC и стороной AK равен 30°. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей ромба, \(AC=2s\cos 30^\circ=s\sqrt{3}\), где \(s\) — сторона ромба.

Тогда \(s=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\).

Ответ: 2.