На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно. Известно, что AM : MB = 3 : 4 и AN : NC = 3 : 2. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника AMN равна 18.

Решение: Обозначим площадь треугольника ABC как $$S_{ABC}$$. Площадь треугольника AMN обозначим как $$S_{AMN}$$. Из условия известно, что $$S_{AMN} = 18$$. Дано отношение сторон: $$AM : MB = 3 : 4$$, откуда $$AM = \frac{3}{7} AB$$ $$AN : NC = 3 : 2$$, откуда $$AN = \frac{3}{5} AC$$ Площадь треугольника можно выразить как половину произведения двух сторон на синус угла между ними. Тогда: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$$ $$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin(\angle A)$$ Выразим отношение площадей: $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC}$$ Подставим выражения для AM и AN: $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{3}{7} AB \cdot \frac{3}{5} AC}{AB \cdot AC} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{35}$$ Таким образом, $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{9}{35}$$ Выразим площадь треугольника ABC: $$S_{ABC} = \frac{35}{9} S_{AMN}$$ Подставим значение $$S_{AMN} = 18$$: $$S_{ABC} = \frac{35}{9} \cdot 18 = 35 \cdot 2 = 70$$ Ответ: Площадь треугольника ABC равна 70.