На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно. Известно, что AM : MB = 2:3 и AN : NC = 3 : 2. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника AMN равна 18.

Решение:

Площадь треугольника ABC можно найти, используя отношение площадей подобных треугольников. Сначала найдём отношение сторон AM к AB и AN к AC.

1. Отношение AM к AB: \( \frac{AM}{AB} = \frac{AM}{AM + MB} = \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5} \).
2. Отношение AN к AC: \( \frac{AN}{AC} = \frac{AN}{AN + NC} = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5} \).
3. Площадь треугольника AMN относится к площади треугольника ABC как произведение отношений сторон, прилежащих к общему углу A: \( \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} \).
4. Подставим известные значения: \( \frac{18}{S_{ABC}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{25} \).
5. Найдем площадь треугольника ABC: \( S_{ABC} = \frac{18 \cdot 25}{6} = 3 \cdot 25 = 75 \).

Ответ: 75.