На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки МиN соответственно. Известно, что AM : AB = 3:7 и AN : AC = 3 : 5. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника AMN равна 18.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{\alpha}, $$

где $$a$$ и $$b$$ - стороны треугольника, $$ \alpha$$ - угол между ними.

Отношение площадей треугольников $$AMN$$ и $$ABC$$ равно отношению произведений сторон, образующих угол $$\alpha$$ (угол $$A$$ общий), то есть:

$$ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC} $$

Выразим $$S_{ABC}$$:

$$ S_{ABC} = S_{AMN} \cdot \frac{AB \cdot AC}{AM \cdot AN} $$

Подставим известные значения:

$$ S_{ABC} = 18 \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{3} = 18 \cdot \frac{35}{9} = 2 \cdot 35 = 70 $$

Ответ: 70