На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки МиN соответственно. Известно, что AM: MB = 3 : 4 и AN : NC = 3 : 2. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника AMN равна 18.

Обозначим площадь треугольника ABC как S.

Дано:

• AM : MB = 3 : 4
• AN : NC = 3 : 2
• Площадь треугольника AMN = 18

Найти: S - площадь треугольника ABC.

Решение:

1. Выразим отношения AM/AB и AN/AC через данные отношения:

$$AM : MB = 3 : 4 \Rightarrow AM = \frac{3}{7} AB$$

$$AN : NC = 3 : 2 \Rightarrow AN = \frac{3}{5} AC$$

2. Площадь треугольника AMN можно выразить как:

$$S_{AMN} = \frac{1}{2} AM \cdot AN \cdot sinA$$

Площадь треугольника ABC можно выразить как:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot sinA$$

3. Выразим отношение площадей:

$$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} AM \cdot AN \cdot sinA}{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot sinA} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC} = \frac{\frac{3}{7}AB \cdot \frac{3}{5}AC}{AB \cdot AC} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{35}$$

4. Зная, что площадь треугольника AMN равна 18, найдем площадь треугольника ABC:

$$S_{AMN} = \frac{9}{35} S_{ABC}$$

$$18 = \frac{9}{35} S_{ABC}$$

$$S_{ABC} = \frac{18 \cdot 35}{9} = 2 \cdot 35 = 70$$

Ответ: 70