На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки МиN соответственно. Известно, AM : AB = 3:7 и AN : AC = 3 : 5. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника АВС равна 70.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством площадей подобных треугольников.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон.

1) Рассмотрим треугольники АМN и АВС. У них общий угол А.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab\sin(\alpha)$$, где a и b - стороны треугольника, α - угол между ними.

Тогда площадь треугольника АМN равна: $$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin(\angle A)$$.

Площадь треугольника АВС равна: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$$.

2) Найдем отношение площадей треугольников АМN и АВС:

$$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC}$$.

По условию: $$\frac{AM}{AB} = \frac{3}{7}$$ и $$\frac{AN}{AC} = \frac{3}{5}$$.

Следовательно, $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{35}$$.

3) Известно, что площадь треугольника АВС равна 70. Найдем площадь треугольника АМN:

$$\frac{S_{AMN}}{70} = \frac{9}{35}$$.

$$S_{AMN} = \frac{70 \cdot 9}{35} = 2 \cdot 9 = 18$$.

Ответ: 18