На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD отмечены точки М и №. Известно, что AM: MB=1:2, a BN: NC=2:3. Найдите площадь треугольника MND, если площадь параллелограмма ABCD равна 600.

Решение:

1. Нахождение площадей треугольников, прилегающих к углам A и C:

• Площадь параллелограмма ABCD равна 600.
• Пусть площадь параллелограмма равна S.
• Точка M делит сторону AB в отношении 1:2, значит, AM = (1/3)AB и MB = (2/3)AB.
• Точка N делит сторону BC в отношении 2:3, значит, BN = (2/5)BC и NC = (3/5)BC.
• Площадь треугольника AMD: S_AMD = (1/2) * AM * AD * sin(A). Так как AD = BC, а sin(A) = sin(180 - B) = sin(B), то S_AMD = (1/2) * (1/3)AB * BC * sin(A) = (1/3) * (1/2 * AB * BC * sin(A)) = (1/3) * S_ABC. Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC, то есть S = 2 * S_ABC. Следовательно, S_AMD = (1/3) * (S/2) = S/6.
• Площадь треугольника CND: S_CND = (1/2) * NC * CD * sin(C). CD = AB, sin(C) = sin(A). S_CND = (1/2) * (3/5)BC * AB * sin(A) = (3/5) * (1/2 * AB * BC * sin(A)) = (3/5) * S_ABC = (3/5) * (S/2) = 3S/10.
• Площадь треугольника BMN: S_BMN = (1/2) * MB * BN * sin(B). S_BMN = (1/2) * (2/3)AB * (2/5)BC * sin(B) = (4/15) * (1/2 * AB * BC * sin(B)). Угол B = 180 - A, sin(B) = sin(A). S_BMN = (4/15) * (1/2 * AB * BC * sin(A)) = (4/15) * S_ABC = (4/15) * (S/2) = 4S/30 = 2S/15.

2. Нахождение площади треугольника MND:

• Площадь треугольника MND равна общей площади параллелограмма минус площади трех прилегающих треугольников:
• S_MND = S - S_AMD - S_CND - S_BMN
• S_MND = S - S/6 - 3S/10 - 2S/15
• Приведем дроби к общему знаменателю (30):
• S_MND = 30S/30 - 5S/30 - 9S/30 - 4S/30
• S_MND = (30 - 5 - 9 - 4)S / 30
• S_MND = 12S / 30
• S_MND = 2S / 5

3. Подстановка значения площади параллелограмма:

• S = 600
• S_MND = (2/5) * 600
• S_MND = 2 * 120
• S_MND = 240

Ответ: 240