На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены соответственно точки М и Н так, что АВ = 7ВМ, ВС = 7ВН. Вырази вектор АС через вектор НМ Ответ: АС = HM.

Ответ: \(\overrightarrow{AC} = 7\overrightarrow{HM} + 6\overrightarrow{BA}\)

1. Выразим вектор \(\overrightarrow{AC}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\):
   \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)
2. Выразим вектор \(\overrightarrow{HM}\) через векторы \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{BH}\):
   \(\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BH}\)
3. Выразим векторы \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{BH}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\), используя условие \(AB = 7BM\) и \(BC = 7BH\):
   \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{7}\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BH} = \frac{1}{7}\overrightarrow{BC}\)
4. Подставим полученные выражения в формулу для \(\overrightarrow{HM}\):
   \(\overrightarrow{HM} = \frac{1}{7}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{7}\overrightarrow{BC}\)
5. Выразим \(\overrightarrow{AB}\) через \(\overrightarrow{HM}\) и \(\overrightarrow{BC}\):
   \(\overrightarrow{AB} = 7\overrightarrow{HM} + \overrightarrow{BC}\)
6. Подставим выражение для \(\overrightarrow{AB}\) в формулу для \(\overrightarrow{AC}\):
   \(\overrightarrow{AC} = 7\overrightarrow{HM} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} = 7\overrightarrow{HM} + 2\overrightarrow{BC}\)
7. Учтем, что \(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{CB}\), и выразим \(\overrightarrow{BA}\) через \(\overrightarrow{AB}\):
   \(\overrightarrow{AC} = 7\overrightarrow{HM} + 6\overrightarrow{BA}\)

Ответ: \(\overrightarrow{AC} = 7\overrightarrow{HM} + 6\overrightarrow{BA}\)