На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяли произвольные точки М и К. Точка О – се- редина отрезка МК. Докажите, что АМ + СК < < AO + CO (рис. 18.45).

Ответ: Доказательство неравенства AM + CK < AO + CO.

1. Рассмотрим треугольник AMC.

   Так как точка O - середина MK, то AO - медиана треугольника AMK.

2. Свойство медианы.

   Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями.

3. Неравенство треугольника.

   В треугольнике AOK: AO + OK > AK

4. Аналогично рассмотрим треугольник CKМ.

   Так как точка O - середина MK, то CO - медиана треугольника CMK.

5. Неравенство треугольника.

   В треугольнике COM: CO + OM > CM

6. Сложим неравенства из шагов 3 и 5.

   AO + OK + CO + OM > AK + CM

7. Перегруппируем слагаемые.

   (AO + CO) + (OK + OM) > AK + CM

8. Заметим, что OK + OM = MK.

   (AO + CO) + MK > AK + CM

9. Выразим AK и CM.

   AK = AM + MK и CM = CK + MK

10. Подставим AK и CM в неравенство из шага 7.

    (AO + CO) + MK > (AM + MK) + (CK + MK)

    AO + CO + MK > AM + CK + 2MK

11. Упростим неравенство.

    AO + CO > AM + CK + MK

12. Так как MK > 0, то AO + CO > AM + CK.

    Следовательно, AM + CK < AO + CO.

Ответ: Доказано, что AM + CK < AO + CO.