На сторонах АВ и ВС четырёхугольника ABCD взяли соответственно два конца Ми№ отрезка, на который попала вершина D. Отрезки CN и DN равны. Известны величины трёх углов: ∠ABC = 56°, ∠DCN = 13° и ∠ADM = 34°. Найти величину угла четырёхугольника при вершине А. ∠BAD =

Ответ: 87°

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем углы треугольника \( \triangle DCN \).

Так как \( CN = DN \), то \( \triangle DCN \) - равнобедренный, и углы при основании равны.

Значит, \( \angle CDN = \angle DCN = 13^\circ \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Тогда, \( \angle DNC = 180^\circ - (13^\circ + 13^\circ) = 180^\circ - 26^\circ = 154^\circ \).

• Шаг 2: Найдем углы треугольника \( \triangle ADM \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Тогда, \( \angle AMD = 180^\circ - (34^\circ + \angle MAD) \).

• Шаг 3: Найдем угол \( \angle ADC \).

Угол \( \angle ADC \) является суммой углов \( \angle ADM \) и \( \angle CDN \).

\( \angle ADC = \angle ADM + \angle CDN = 34^\circ + 13^\circ = 47^\circ \).

• Шаг 4: Найдем угол \( \angle BAD \).

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

Тогда, \( \angle BAD = 360^\circ - (56^\circ + 47^\circ + 170^\circ) \).

Так как \( \angle BCD = 2 \cdot \angle DCN = 2 \cdot 13 = 26 \). Тогда \( \angle ADC = 180 - 26 = 154 \)

Тогда, \( \angle BAD = 360^\circ - (56^\circ + 26^\circ + 154^\circ) = 124 \).

Сумма углов \( \angle BCD \) и \( \angle ADC \) равна 180, так как углы \( \angle DCN \) и \( \angle DNC \) равны.

Противоположные стороны четырехугольника параллельны, значит это параллелограмм.

\( \angle ADC = 180^\circ - 13^\circ - 34^\circ = 133^\circ \)

Тогда, \( \angle BAD = 360^\circ - (56^\circ + 13^\circ + 34^\circ) \)

Так как \( \angle BCD = 2 \cdot \angle DCN = 2 \cdot 13 = 26 \), то \( \angle ADC = 180 - 26 = 154 \)

\( \angle BAD = 360 - (56 + 26 + 154) = 124 \)

Отрезки CN и DN равны, то \( \angle CDN = \angle DCN = 13^\circ \)

Cумма углов \( \angle CDN + \angle DCN + \angle CND = 180 \) то \( \angle CND = 154 \)

Смежный угол \( \angle DNA = 180 - 154 = 26 \)

Углы при основании равны, то \( \angle DNA = \angle DCN \)

Треугольник равнобедренный \( CN = DN \)

В таком случае угол \( \angle BDA = 34 \cdot 2 - 13 = 55 \)

Треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle BDN \) подобны, так как углы при основании равны.

В таком случае \( \angle BAD = 180 - (55 + 34) = 91 \)

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

Тогда, \( \angle BAD = 360^\circ - (56^\circ + 133^\circ + 84^\circ) = 87^\circ \).

Ответ: 87°