На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и K, AB = BM = KD, ∠AMB = 30°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки AM и CK.

Рассмотрим треугольник ABM.

1. По условию \(AB=BM\), поэтому треугольник \(ABM\) равнобедренный, а его углы при основании равны: \(\angle BAM=\angle AMB=30^\circ\).
2. Тогда \(\angle ABM=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ\).
3. Так как \(BM\parallel AD\), угол между прямыми \(AB\) и \(AD\) равен \(60^\circ\). Следовательно, углы параллелограмма равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\).
4. В треугольнике \(ABM\) по теореме косинусов: \(AM^2=AB^2+BM^2-2\cdot AB\cdot BM\cos120^\circ=3AB^2\), поэтому \(AM=\sqrt3\,AB\).
5. В треугольнике \(CDK\): \(CD=AB\), \(DK=AB\), а угол \(CDK=60^\circ\). Поэтому \(CK=AB\).

Ответ: углы параллелограмма равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\); \(AM=\sqrt3\,AB\), \(CK=AB\), поэтому \(AM>CK\).