На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяли точки M и K так, что угол KAM равен 40°, а угол AKM равен 70°. Найдите угол AMB.

Обозначим сторону квадрата через 1 и введём координаты: \(A(0,0)\), \(B(0,1)\), \(C(1,1)\), \(D(1,0)\). Пусть \(M(m,1)\), \(K(1,k)\).

Так как луч \(AK\) образует с горизонтальной стороной \(AD\) угол \(\arctan k\), а луч \(AM\) образует с \(AD\) угол \(\arctan(1/m)\), из условия \(\angle KAM=40^\circ\) получаем:

\[\arctan(1/m)-\arctan k=40^\circ.\]

В треугольнике \(AKM\):

\[\angle AMK=180^\circ-40^\circ-70^\circ=70^\circ.\]

Следовательно, \(\angle AKM=\angle AMK\), поэтому \(AK=AM\). Из равенства длин:

\[AM^2=m^2+1,\qquad AK^2=1+k^2,\]

получаем \(m^2=k^2\), то есть \(m=k\). Тогда \(\angle KAD=\angle DAM\), а их разность равна \(40^\circ\). Поскольку \(\angle DAM+\angle KAD=90^\circ\), имеем:

\[\angle DAM=65^\circ,\qquad \angle KAD=25^\circ.\]

В треугольнике \(ABM\) угол при \(A\) равен \(90^\circ-65^\circ=25^\circ\), а угол при \(B\) равен \(90^\circ\). Поэтому:

\[\angle AMB=180^\circ-90^\circ-25^\circ=65^\circ.\]

Ответ: \(65^\circ\).