На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки K и E так, что BK = KC, CE : ED = 2 : 3. Выразите векторы AK, AE, KE через векторы a = AB и b = AD.

Пусть \(\vec a=\overrightarrow{AB}\), \(\vec b=\overrightarrow{AD}\). Тогда \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), а \(\overrightarrow{CD}=-\vec a\).

1. Так как \(BK=KC\), точка \(K\) — середина \(BC\). Поэтому \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\vec a+\frac12\vec b\).
2. Из отношения \(CE:ED=2:3\) следует, что \(\overrightarrow{CE}=\frac25\overrightarrow{CD}=-\frac25\vec a\). Значит, \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\vec a+\vec b-\frac25\vec a=\frac35\vec a+\vec b\).
3. По правилу вычитания векторов \(\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AK}=\left(\frac35-1\right)\vec a+\left(1-\frac12\right)\vec b=-\frac25\vec a+\frac12\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b;\quad \overrightarrow{AE}=\frac35\vec a+\vec b;\quad \overrightarrow{KE}=-\frac25\vec a+\frac12\vec b\).