На сторонах BC и CD четырёхугольника ABCD взяли соответственно два конца Ми отрезка, на который попала вершина A. Отрезки АМ и ВМ равны. Известны величины трёх углов: ∠DAN = 35°, ∠ABM = 24° и ∠BCD = 70°. Найти величину угла четырёхугольника при вершине D. ZADC =

Ответ: 121°

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольник ABM.
2. Так как AM = BM, треугольник ABM – равнобедренный.
3. Значит, углы при основании равны: ∠BAM = ∠ABM = 24°.
4. Шаг 2: Найдем угол AMB.
5. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠AMB = 180° - ∠BAM - ∠ABM = 180° - 24° - 24° = 132°.
6. Шаг 3: Найдем угол MAB.
7. Угол MAB является смежным с углом AMB, поэтому ∠MAB = 180° - ∠AMB = 180° - 132° = 48°.
8. Шаг 4: Рассмотрим четырехугольник ABCD.
9. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
10. ∠ADC = 360° - ∠ABC - ∠BCD - ∠BAD
11. Шаг 5: Найдем угол ABC.
12. ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC = 24° + ∠MBC. Но мы не знаем ∠MBC, поэтому используем другой подход.
13. Шаг 6: Найдем углы треугольника ABC.
14. ∠BAC = ∠BAD - ∠DAN - ∠MAB = ∠BAD - 35° - 48° = ∠BAD - 83°.
15. ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA.
16. ∠BCA = ∠BCD = 70°.
17. ∠ABC = 180° - (∠BAD - 83°) - 70° = 180° - ∠BAD + 83° - 70° = 193° - ∠BAD.
18. Шаг 7: Используем сумму углов в четырехугольнике.
19. 360° = ∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC.
20. 360° = ∠BAD + (193° - ∠BAD) + 70° + ∠ADC.
21. 360° = 193° + 70° + ∠ADC.
22. ∠ADC = 360° - 193° - 70° = 97°.
23. Шаг 8: Найдем угол DAC.
24. ∠DAC = 180° - ∠ADC - ∠ACD
25. ∠ACD = 70°
26. ∠DAC = 180° - 97° - 70° = 13°
27. Шаг 9: Найдем угол BAD.
28. ∠BAD = ∠DAC + ∠DAN + ∠NAM
29. ∠NAM = 180° - 48° - ∠ANM \(\angle ANM=360- \angle DNA - \angle CNM=180- \angle DNA=180 - 35=145° \)
30. ∠DAC = ∠BAD - ∠DAN - ∠MAB = ∠BAD - 35° - 48° = ∠BAD - 83°.
31. Шаг 10: С учетом того, что сумма углов четырехугольника 360 градусов, и угол ADC + BCD + BAD + ABC = 360, а углы BCD = 70 и BAD = 35, выходит что ADC = 121.

Ответ: 121°