На сторонах DC и BC параллелограмма ABCD взяты точки V и Z так, что DV : VC = 1:2, BZ: ZC = 1:4, отрезки BV и DZ пересекаются в точке О. Отношение DO : OZ

Решение:

Пусть \( DC = 3x \) и \( BC = 5y \). Тогда \( DV = x \), \( VC = 2x \), \( BZ = y \), \( ZC = 4y \).

Введём систему координат. Пусть \( D = (0, 0) \), \( C = (3x, 0) \), \( B = (3x, 5y) \), \( A = (0, 5y) \).

Тогда координаты точек:

• \( V \) лежит на \( DC \) и \( DV : VC = 1 : 2 \). \( V = (x, 0) \).
• \( Z \) лежит на \( BC \) и \( BZ : ZC = 1 : 4 \). \( Z = (3x, 4y) \).

Уравнение прямой \( BV \): проходит через \( B(3x, 5y) \) и \( V(x, 0) \).

Угловой коэффициент \( k_{BV} = \frac{5y - 0}{3x - x} = \frac{5y}{2x} \).

Уравнение прямой \( BV \): \( y - 0 = \frac{5y}{2x}(X - x) \) => \( y = \frac{5y}{2x}X - \frac{5y}{2} \).

Уравнение прямой \( DZ \): проходит через \( D(0, 0) \) и \( Z(3x, 4y) \).

Угловой коэффициент \( k_{DZ} = \frac{4y - 0}{3x - 0} = \frac{4y}{3x} \).

Уравнение прямой \( DZ \): \( y = \frac{4y}{3x}X \).

Найдем точку пересечения \( O \) приравняв уравнения прямых:

\( \frac{4y}{3x}X = \frac{5y}{2x}X - \frac{5y}{2} \)

Разделим на \( y \) (так как \( y
e 0 \)):

\( \frac{4}{3x}X = \frac{5}{2x}X - \frac{5}{2} \)

\( \frac{5}{2} = \frac{5}{2x}X - \frac{4}{3x}X \)

\( \frac{5}{2} = X \left( \frac{5}{2x} - \frac{4}{3x} \right) \)

\( \frac{5}{2} = X \left( \frac{15 - 8}{6x} \right) \)

\( \frac{5}{2} = X \frac{7}{6x} \)

\( X = \frac{5}{2} \cdot \frac{6x}{7} = \frac{15x}{7} \).

Найдем \( y \) для точки \( O \):

\( y_O = \frac{4y}{3x}X = \frac{4y}{3x} \cdot \frac{15x}{7} = \frac{20y}{7} \).

Координаты точки \( O \) равны \( \left( \frac{15x}{7}, \frac{20y}{7} \right) \).

Точка \( D \) имеет координаты \( (0, 0) \), точка \( Z \) имеет координаты \( (3x, 4y) \).

Вектор \( \vec{DO} = \left( \frac{15x}{7}, \frac{20y}{7} \right) \).

Вектор \( \vec{OZ} = Z - O = \left( 3x - \frac{15x}{7}, 4y - \frac{20y}{7} \right) = \left( \frac{21x - 15x}{7}, \frac{28y - 20y}{7} \right) = \left( \frac{6x}{7}, \frac{8y}{7} \right) \).

Отношение \( DO : OZ \) равно отношению длин векторов \( \vec{DO} \) и \( \vec{OZ} \).

\( DO = \sqrt{\left( \frac{15x}{7} \right)^2 + \left( \frac{20y}{7} \right)^2} \).

\( OZ = \sqrt{\left( \frac{6x}{7} \right)^2 + \left( \frac{8y}{7} \right)^2} \).

Для нахождения отношения можно использовать отношение координат, так как векторы лежат на одной прямой.

\( DO : OZ = \frac{15x}{7} : \frac{6x}{7} = 15x : 6x = 15 : 6 = 5 : 2 \).

Аналогично по координате y: \( \frac{20y}{7} : \frac{8y}{7} = 20y : 8y = 20 : 8 = 5 : 2 \).

Таким образом, \( DO : OZ = 5 : 2 \).

Ответ: 5 : 2.