На сторонах MN и NE четырехугольника MNEF взяты точки К и L соответственно так, что \(\frac{MK}{NK} = \frac{EL}{NL} = \frac{2}{3}\). Найдите длину отрезка KL, если МЕ = 45.

Рассмотрим четырехугольник MNEF, точки K и L лежат на сторонах MN и NE соответственно.

По условию, \(\frac{MK}{NK} = \frac{EL}{NL} = \frac{2}{3}\).

Нужно найти длину отрезка KL, если ME = 45.

Так как \(\frac{MK}{NK} = \frac{EL}{NL}\), то прямые KL и ME параллельны (по теореме, обратной теореме Фалеса).

Тогда треугольники MNE и KNL подобны по двум углам (угол N общий, углы NKL и NME равны как соответственные при параллельных прямых KL и ME и секущей MN).

Запишем отношение соответственных сторон:

$$\frac{KL}{ME} = \frac{NK}{MN}$$

По условию \(\frac{MK}{NK} = \frac{2}{3}\), выразим \(NK = \frac{3}{2}MK\).

Тогда \(MN = MK + NK = MK + \frac{3}{2}MK = \frac{5}{2}MK\).

Тогда \(\frac{NK}{MN} = \frac{\frac{3}{2}MK}{\frac{5}{2}MK} = \frac{3}{5}\)

Подставим известные значения в пропорцию:

$$\frac{KL}{45} = \frac{3}{5}$$ $$KL = \frac{3 \cdot 45}{5} = 3 \cdot 9 = 27$$

Ответ: 27