На сторонах треугольника АВС построили три равных ему треугольника АСМ, BCL и АВМ. Периметр треугольника АВС равен 26. Найдите периметр шестиугольника ANBLCM.

Решение:

1. Условие: Дано треугольник ABC, на сторонах которого построены три равных ему треугольника: ACM, BCL и ABM. Периметр треугольника ABC равен 26.
2. Что нужно найти: Периметр шестиугольника ANBLCM.
3. Анализ: Шестиугольник ANBLCM состоит из треугольника ABC и трех построенных треугольников ACM, BCL, ABM.
4. Свойство равных треугольников: Так как треугольники ACM, BCL и ABM равны треугольнику ABC, их периметры также равны периметру ABC.
5. Периметр построенных треугольников: Периметр каждого из треугольников ACM, BCL, ABM равен 26.
6. Периметр шестиугольника: Периметр шестиугольника ANBLCM равен сумме периметров всех пяти треугольников (ABC, ACM, BCL, ABM), но при этом стороны AC, CB, BA являются общими для треугольника ABC и построенных треугольников.
7. Формула периметра шестиугольника: Периметр ANBLCM = (AN + NB) + (BL + LC) + (CM + MA).
8. Связь с периметром ABC: Периметр ANBLCM = AM + AN + BL + BC + CL + AC.
9. Развернем периметр: Периметр ANBLCM = (AM + AC) + (BL + BC) + (CL + AN).
10. Важно: Шестиугольник ANBLCM состоит из треугольника ABC и трёх внешних треугольников ACM, BCL, ABM. Стороны AB, BC, AC являются сторонами треугольника ABC.
11. Периметр шестиугольника: Периметр шестиугольника ANBLCM = AN + NB + BL + LC + CM + MA.
12. Суммируем стороны: AN + NB = AB, BL + LC = BC, CM + MA = AC.
13. Итого: Периметр шестиугольника ANBLCM = AB + BC + AC + AM + LC + CM.
14. Внешние треугольники: AM = MC, CL = LB, NB = NA.
15. Развернем периметр: Периметр ANBLCM = AN + NB + BL + LC + CM + MA.
16. Подставим равные стороны: Периметр ANBLCM = AM + NB + CL + LC + CM + MA.
17. Суммируем: Периметр ANBLCM = (AM + MA) + (NB + BL) + (LC + CM).
18. Упрощаем: Периметр ANBLCM = 2 * AM + 2 * NB + 2 * LC.
19. Снова: Периметр ANBLCM = 2 * (AM + NB + LC).
20. Переформулируем: Периметр ANBLCM = AM + AN + BL + BC + CL + AC.
21. Из условия: Треугольники ACM, BCL, ABM равны треугольнику ABC.
22. Значит: AM=MC, CL=LB, NB=NA.
23. Периметр ANBLCM = AN + NB + BL + LC + CM + MA.
24. Перегруппируем: Периметр ANBLCM = (AN + NB) + (BL + LC) + (CM + MA).
25. Заменим: Периметр ANBLCM = AB + BC + AC.
26. Это периметр треугольника ABC!
27. Периметр ABC = 26.
28. Отсюда: Периметр шестиугольника ANBLCM = 26.

Ответ: 26