На сторонах угла / АВС точки А и С находятся на равных расстояниях от вершины угла ВА = ВС. Через эти точки к сторонам угла проведены перпендикуляры АЕ | BD, CD BE. 1. Докажи равенство треугольников ДAFD и ACFE. 2. Определи величину угла, под которым перпендикуляр CD пересекает ВА, если АЕ пересекает ВС под углом 63°. Решение. 1. Назови треугольники, равенство котор позволит доказать равенство ДAFD CFE

1. Рассмотрим треугольники $$\triangle ABE$$ и $$\triangle CBD$$.

У них:

• $$AB=BC$$ (по условию);
• $$\angle B$$ – общий;
• $$\angle AEB = \angle CDB = 90^\circ$$ (по условию).

Следовательно, $$\triangle ABE = \triangle CBD$$ по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует, что $$AE=CD$$ и $$BD=BE$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AFD$$ и $$\triangle CFE$$.

У них:

• $$AE-FE=CD-AE$$, следовательно, $$AF = CF$$;
• $$\angle ADF = \angle AEF$$, так как $$\triangle ABE = \triangle CBD$$.
• $$\angle AFD = \angle CFE$$ (как вертикальные).

Следовательно, $$\triangle AFD = \triangle CFE$$ по стороне и двум прилежащим углам.

2. Пусть $$AE$$ пересекает $$BC$$ в точке $$H$$. Дано, что $$\angle AHC=63^\circ$$.

Так как $$\angle AEB = 90^\circ$$, то $$\angle EAH = 90^\circ - \angle AHE = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ$$.

Так как $$\triangle ABE = \triangle CBD$$, то $$\angle BAE = \angle BCD$$ и $$\angle BAE=90^\circ - \angle B = \angle BCD$$.

Следовательно, $$\angle BCD = 90^\circ - \angle B$$.

$$\angle BAC = \angle BCA$$, так как $$\triangle ABC$$ – равнобедренный (по условию).

$$\angle BAC = (180^\circ - \angle B)/2 = 90^\circ - \angle B/2$$.

Пусть $$CD$$ пересекает $$BA$$ в точке $$K$$.

Тогда $$\angle AKD = 180^\circ - \angle DAK - \angle ADK = 180^\circ - (90^\circ - \angle B/2) - (90^\circ - \angle B) = \angle B/2$$.

Так как $$\angle EAH = \angle B/2 = 27^\circ$$, то $$\angle AKD = \angle B/2 = 27^\circ$$.

Следовательно, угол, под которым перпендикуляр $$CD$$ пересекает $$BA$$, равен $$27^\circ$$.

1. Для доказательства равенства $$\triangle AFD = \triangle CFE$$ необходимо равенство треугольников $$\triangle ABE = \triangle CBD$$.

Ответ: Доказано равенство треугольников, угол равен 27°, $$\triangle ABE = \triangle CBD$$