На сторонах UM, MS, SU треугольника UMS отметили точки C, H, L соответственно следующим образом: \(\frac{UC}{CM}=\frac{MH}{HS}=\frac{SL}{LU}=\frac{3}{1}\). Чему равна площадь треугольника CHL, если площадь треугольника UMS равна 1?

Поскольку отношение каждой части стороны к другой равно 3:1, точки делят стороны в долях: \(UC=\frac34 UM\), \(MH=\frac34 MS\), \(SL=\frac34 SU\).

Введём координаты: \(U=(0,0)\), \(M=(1,0)\), \(S=(0,1)\). Тогда площадь исходного треугольника в этих координатах равна \(\frac12\).

По формулам деления отрезка получаем: \(C=(\frac34,0)\), \(H=(\frac14,\frac34)\), \(L=(0,\frac14)\).

Площадь треугольника CHL равна половине модуля определителя векторов \(\overrightarrow{CH}=(-\frac12,\frac34)\) и \(\overrightarrow{CL}=(-\frac34,\frac14)\):

\[S_{CHL}=\frac12\left| -\frac12\cdot\frac14-\frac34\cdot\left(-\frac34\right)\right|=\frac12\cdot\frac{7}{16}=\frac{7}{32}.\]

Отношение площадей \(S_{CHL}:S_{UMS}=\frac{7}{32}:\frac12=\frac{7}{16}\). Так как \(S_{UMS}=1\), площадь треугольника CHL равна \(\frac{7}{16}\).

Ответ: \(\frac{7}{16}\).