4. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и N так, что BM : MC = 3:4, CN : ND = 4:1. Выразите вектор \(\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}\).

Давай разберем по порядку, как выразить вектор \(\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) в данной задаче. 1. Выразим вектор \(\overrightarrow{MC}\) через \(\overrightarrow{BC}\) \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}\) (так как ABCD - параллелограмм). По условию BM : MC = 3 : 4, значит, MC составляет \(\frac{4}{7}\) от BC. Следовательно: \(\overrightarrow{MC} = \frac{4}{7} \overrightarrow{BC} = \frac{4}{7} \overrightarrow{b}\) 2. Выразим вектор \(\overrightarrow{CN}\) через \(\overrightarrow{CD}\) \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{a}\) (так как ABCD - параллелограмм). По условию CN : ND = 4 : 1, значит, CN составляет \(\frac{4}{5}\) от CD. Следовательно: \(\overrightarrow{CN} = \frac{4}{5} \overrightarrow{CD} = \frac{4}{5} (-\overrightarrow{a}) = -\frac{4}{5} \overrightarrow{a}\) 3. Выразим вектор \(\overrightarrow{MN}\) через известные векторы Чтобы выразить \(\overrightarrow{MN}\), воспользуемся правилом сложения векторов: \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN}\) Подставим найденные выражения для \(\overrightarrow{MC}\) и \(\overrightarrow{CN}\): \(\overrightarrow{MN} = \frac{4}{7} \overrightarrow{b} - \frac{4}{5} \overrightarrow{a}\) 4. Итоговое выражение Таким образом, вектор \(\overrightarrow{MN}\) выражается через векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) следующим образом: \(\overrightarrow{MN} = -\frac{4}{5} \overrightarrow{a} + \frac{4}{7} \overrightarrow{b}\)

Ответ: \(\overrightarrow{MN} = -\frac{4}{5} \overrightarrow{a} + \frac{4}{7} \overrightarrow{b}\)

Ты молодец! У тебя всё получится!