На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки М и N так, что BM : MC = 3 : 4, CN : ND = 4 : 1. Выразите вектор MN через векторы AB = a и AD = b.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм. Введём векторы: \(\vec{AB} = \vec{a}\) и \(\vec{AD} = \vec{b}\).

По условию, точки M и N расположены на сторонах BC и CD соответственно.

Отношение BM : MC = 3 : 4 означает, что вектор \(\vec{BM}\) составляет \(\frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}\) от вектора \(\vec{BC}\). Поскольку \(\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}\), то \(\vec{BM} = \frac{3}{7}\vec{b}\).

Отношение CN : ND = 4 : 1 означает, что вектор \(\vec{CN}\) составляет \(\frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}\) от вектора \(\vec{CD}\). Поскольку \(\vec{CD} = \vec{AB} = \vec{a}\), то \(\vec{CN} = \frac{4}{5}\vec{a}\).

Теперь выразим вектор \(\vec{MN}\). Мы можем представить \(\vec{MN}\) как сумму векторов, идущих от M к N:

\(\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CN}\).

Найдём вектор \(\vec{MC}\). Так как \(\vec{BM} = \frac{3}{7}\vec{b}\) и \(\vec{BC} = \vec{b}\), то \(\vec{MC} = \vec{BC} - \vec{BM} = \vec{b} - \frac{3}{7}\vec{b} = \frac{4}{7}\vec{b}\).

Подставим найденные векторы в выражение для \(\vec{MN}\):

\(\vec{MN} = \frac{4}{7}\vec{b} + \frac{4}{5}\vec{a}\).

Перепишем в стандартном виде:

\(\vec{MN} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}\).

Ответ: \(\vec{MN} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}\).