На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечена точка \(D\) так, что \(AD = 4\), \(DC = 7\). Площадь треугольника \(ABC\) равна 55. Найдите площадь треугольника \(ABD\).

Площадь треугольника \(ABD\) можно найти, используя отношение площадей треугольников с общей высотой.

Треугольники \(ABD\) и \(ABC\) имеют общую высоту, проведенную из вершины \(B\) к стороне \(AC\). Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как длины их оснований.

1. Найдем длину стороны \(AC\):

\(AC = AD + DC = 4 + 7 = 11\)

2. Запишем отношение площадей треугольников \(ABD\) и \(ABC\):

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{AD}{AC}$$ $$\frac{S_{ABD}}{55} = \frac{4}{11}$$

3. Найдем площадь треугольника \(ABD\):

$$S_{ABD} = \frac{4}{11} \times 55 = 4 \times 5 = 20$$

Ответ: 20