15. На стороне \(BC\) прямоугольника \(ABCD\), у которого \(AB = 24\) и \(AD = 31\), отмечена точка \(E\) так, что \(\angle EAB = 45^\circ\). Найдите \(ED\).

В прямоугольнике \(ABCD\), \(AB = 24\). В треугольнике \(ABE\) угол \(EAB = 45^\circ\). Так как треугольник \(ABE\) прямоугольный и один из углов равен \(45^\circ\), то второй угол тоже равен \(45^\circ\) (\(90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\)). Следовательно, треугольник \(ABE\) равнобедренный, и \(BE = AB = 24\).

Так как \(BC = AD = 31\), а \(BE = 24\), то \(EC = BC - BE = 31 - 24 = 7\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ECD\). В нём \(EC = 7\) и \(CD = AB = 24\). По теореме Пифагора, \(ED^2 = EC^2 + CD^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\). Следовательно, \(ED = \sqrt{625} = 25\).