На стороне AB параллелограмма ABCD построен ромб так, что одна из сторон ромба лежит на продолжении стороны AD параллелограмма. Площадь параллелограмма ABCD равна 54√3, AD = 12, ∠BAD = 60°. Чему равна площадь ромба?

Площадь параллелограмма ABCD равна произведению высоты на сторону, к которой проведена высота.

$$S_{ABCD} = AD \cdot h$$

Высота, проведенная к стороне AD, равна:

$$h = \frac{S_{ABCD}}{AD} = \frac{54\sqrt{3}}{12} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$

Высота параллелограмма равна стороне AB, умноженной на синус угла между сторонами AB и AD, то есть:

$$h = AB \cdot sin(60^\circ)$$

Сторона AB параллелограмма равна:

$$AB = \frac{h}{sin(60^\circ)} = \frac{\frac{9\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 9$$

Так как на стороне AB построен ромб, то сторона ромба равна стороне AB, то есть 9.

Площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла между сторонами ромба:

$$S_{ромба} = a^2 \cdot sin(120^\circ) = 9^2 \cdot sin(120^\circ) = 81 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $$\frac{81\sqrt{3}}{2}$$