На стороне AC треугольника ABC отложен отрезок AM, равный третьей части стороны AB, а на стороне AB — отрезок AN, равный третьей части стороны AC. Найдите MN, если BC = 15.

Обозначим \(AB=a\), \(AC=c\), а угол \(BAC\) — через \(\alpha\).

По условию:

\(AM=\dfrac{a}{3}\), \(AN=\dfrac{c}{3}\).

По теореме косинусов для треугольника \(AMN\):

\[MN^2=AM^2+AN^2-2\cdot AM\cdot AN\cos\alpha\]

\[MN^2=\frac{a^2}{9}+\frac{c^2}{9}-2\cdot\frac{a}{3}\cdot\frac{c}{3}\cos\alpha\]

\[MN^2=\frac{a^2+c^2-2ac\cos a}{9}.\]

По теореме косинусов для треугольника \(ABC\):

\[BC^2=a^2+c^2-2ac\cos\alpha.\]

Следовательно, \(MN^2=\dfrac{BC^2}{9}\), значит:

\[MN=\frac{BC}{3}=\frac{15}{3}=5.\]

Ответ: 5