3. На стороне AC треугольника ABC отметили точку E так, что угол BEC равен углу BCA. Найдите длину отрезка BE, если AE = 1, EC = 5, и угол ABC равен углу BAC.

Пусть дан треугольник $$ABC$$. На стороне $$AC$$ отмечена точка $$E$$ такая, что $$\angle BEC = \angle BCA$$. Также известно, что $$AE = 1$$, $$EC = 5$$ и $$\angle ABC = \angle BAC$$. Необходимо найти длину отрезка $$BE$$. Так как $$\angle BEC = \angle BCA$$, то треугольники $$BEC$$ и $$ABC$$ подобны по двум углам (угол $$C$$ общий). Из подобия треугольников следует, что $$\frac{BE}{AB} = \frac{EC}{BC} = \frac{BC}{AC}$$. Так как $$\angle ABC = \angle BAC$$, то треугольник $$ABC$$ является равнобедренным, и $$BC = AC$$. Следовательно, $$\frac{EC}{BC} = 1$$, что означает $$EC = BC$$. Так как $$EC = 5$$, то $$BC = 5$$. Поскольку $$AC = AE + EC = 1 + 5 = 6$$, получаем противоречие ($$BC$$ не может быть равно $$AC$$). Однако, поскольку $$\angle ABC = \angle BAC$$, то $$AC = BC$$. Значит, из условия $$\frac{BC}{AC} = \frac{EC}{BC}$$ следует, что $$BC^2 = AC \cdot EC$$, а значит, $$AC^2 = AC \cdot EC$$, откуда $$AC = EC = 5$$. Но тогда $$AE = AC - EC = 5 - 5 = 0$$, что противоречит условию $$AE = 1$$. Рассмотрим подобие треугольников $$\triangle ABC \sim \triangle BEC$$. Поскольку $$\angle BCA = \angle BEC$$ и $$\angle ABC = \angle BAC$$, то $$\triangle ABC \sim \triangle BEC$$ по двум углам. Следовательно, выполняются соотношения: $$\frac{AB}{BE} = \frac{BC}{EC} = \frac{AC}{BC}$$ Из равенства $$\angle ABC = \angle BAC$$ следует, что $$\triangle ABC$$ равнобедренный, значит, $$BC = AC = AE + EC = 1 + 5 = 6$$. Тогда $$\frac{BC}{EC} = \frac{6}{5}$$. $$\frac{AC}{BC} = \frac{6}{6} = 1$$ Из подобия получаем $$\frac{BE}{AB} = \frac{EC}{BC}$$. Тогда $$BE = \frac{AB \cdot EC}{BC} = \frac{AB \cdot 5}{6}$$. Также $$\frac{AB}{BE} = \frac{AC}{BC} \implies AB = BE \cdot \frac{AC}{BC} = BE \cdot \frac{6}{6} = BE$$. Тогда $$BE = \frac{BE \cdot 5}{6}$$, откуда $$1 = \frac{5}{6}$$, что неверно. Следовательно, мы пришли к противоречию. Пусть $$\angle BEC = \angle BCA = \alpha$$ и $$\angle ABC = \angle BAC = \beta$$. Тогда $$\triangle ABC$$ - равнобедренный, $$BC = AC = 6$$. $$\triangle BEC$$ - ? $$\frac{BE}{\sin C} = \frac{EC}{\sin \angle EBC} \implies \frac{BE}{\sin \alpha} = \frac{5}{\sin \angle EBC}$$. По теореме синусов для $$\triangle ABC$$: $$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$$. Так как $$AC=BC$$ и $$\angle B = \angle A$$ , то $$\frac{6}{\sin \beta} = \frac{6}{\sin \beta}$$. По теореме косинусов для $$\triangle BEC$$: $$BE^2 = BC^2 + EC^2 - 2 \cdot BC \cdot EC \cdot \cos C = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos \alpha$$. Так как $$\angle BEC = \angle BCA$$, то $$\triangle ABC \sim \triangle EBC$$ по двум углам. Тогда $$\frac{BC}{AC} = \frac{EC}{BC} = \frac{BE}{AB}$$. $$AC = BC = 6$$. Тогда $$\frac{EC}{BC} = \frac{5}{6}$$. $$\frac{BC}{AC} = 1$$. Значит $$AB=BE$$ и $$BE = AB = 5 \implies BE = 5$$. Ответ: 5