На стороне AC треугольника ABC взяли точку M так, что AM:CM = 3:4. Точка O — середина отрезка BM. Прямая AO делит сторону BC треугольника. В каком отношении?

Обозначим точку пересечения прямой AO со стороной BC через E.

1. Положим A=(0,0), C=(7,0), тогда из AM:CM=3:4 следует M=(3,0). Пусть B=(u,v), где v≠0.
2. Так как O — середина BM, получаем O=((u+3)/2,v/2). Прямая AO пересекает BC в точке E.
3. Запишем E на отрезке BC в виде E=B+t(C−B). Из координат, поскольку E лежит на AO, получаем t=3/7.
4. Следовательно, BE:EC=t:(1−t)=3/7:4/7=3:4.

Ответ: прямая AO делит сторону BC в отношении BE:EC=3:4.