На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка A₁ так, что DA₁ = 4 см. Плоскость, параллельная диагонали AC, проходит через точку A₁ и пересекает сторону CD в точке C₁. а) Докажите, что ΔC₁DA₁ ∼ ΔABC. б) Найдите AC, если BC = 10 см, A₁C₁ = 6 см.

а) В параллелограмме AB ∥ CD и AD ∥ BC. Поскольку A₁ лежит на AD, C₁ — на CD, а A₁C₁ ∥ AC, имеем ∠C₁DA₁ = ∠ABC и ∠DC₁A₁ = ∠BAC. Значит, ΔC₁DA₁ ∼ ΔABC; соответствие вершин: C₁ ↔ A, D ↔ B, A₁ ↔ C.

б) При указанном соответствии A₁C₁ соответствует BC, поэтому коэффициент подобия малого треугольника к большому равен A₁C₁ : BC = 6 : 10 = 3 : 5. Сторона DA₁ соответствует AC, следовательно, DA₁ : AC = 3 : 5. Тогда AC = 4 · 5 / 3 = 20/3 см = 6⅔ см.

Ответ: а) ΔC₁DA₁ ∼ ΔABC; б) AC = 20/3 см.