1. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка Е так, что АЕ = 4 см, ED = 5 см, ВЕ = 12 см, BD = 13 см. Найдите площадь параллелограмма. 2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК И СЕ, СЕ = 12 см, ВЕ = 9 см, АК = 10 см. Найдите АС. 3. В равнобедренной трапеции АBCD AD||BC, ∠A = 30°, высота ВК = 1 см, ВС = 2√3 см. Найдите площадь треугольника KMD, если М — середина отрезка BD.

Задача 1

Давай решим эту задачу по шагам. Сначала рассмотрим треугольник BED. Из условия задачи нам известно, что BE = 12 см, ED = 5 см и BD = 13 см. Заметим, что выполняется равенство: \[ BE^2 + ED^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \] \[ BD^2 = 13^2 = 169 \] Так как выполняется теорема Пифагора, то треугольник BED является прямоугольным с прямым углом E.

Теперь рассмотрим треугольник ABE. Здесь AE = 4 см, BE = 12 см. Площадь параллелограмма ABCD можно найти как сумму площадей двух треугольников: ABD и BCD. Поскольку ABCD параллелограмм, то площадь треугольника ABD равна площади треугольника BCD. Значит, площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABD.

Площадь треугольника ABD можно найти, если знать его высоту. В нашем случае, удобно рассмотреть площадь как сумму площадей двух треугольников: ABE и BED. Площадь треугольника ABE можно найти, зная AE и BE, но нам нужен угол между ними, чтобы использовать формулу \(\frac{1}{2}ab \sin(\gamma)\). Однако, мы можем найти площадь треугольника BED, так как он прямоугольный: \(S_{BED} = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot ED = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \) см².

Для нахождения площади треугольника ABE, опустим высоту из вершины B на сторону AD, назовем её BH. Тогда площадь треугольника ABD будет \(\frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH\), а площадь параллелограмма \(AD \cdot BH\). Заметим, что BH - это высота и для треугольника ABE и для треугольника BED. Площадь треугольника ABD = площадь ABE + площадь BED. Значит, чтобы найти BH нужно сначала выразить площадь ABE, а затем приравнять две формулы для площади ABD.

Так как угол AEB смежный с углом DEB, a угол DEB = 90°, то угол AEB = 90°. Значит, площадь треугольника ABE = \(\frac{1}{2} \cdot AE \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 = 24 \) см².

Площадь треугольника ABD = площадь ABE + площадь BED = 24 + 30 = 54 см². Площадь параллелограмма ABCD = 2 * площадь ABD = 2 * 54 = 108 см².

Ответ: 108 см²

Молодец, ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и все получится!

Задача 2

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CE, CE = 12 см, BE = 9 см, AK = 10 см. Найдите AC.

Давай разберем решение этой задачи. Здесь нам понадобится использовать свойства подобных треугольников, образованных высотами.

Рассмотрим треугольник ABC. В нем проведены высоты AK и CE. Это означает, что углы AKB и CEB прямые.

1. Рассмотрим треугольники AKB и CEB. У них угол B общий, и углы AKB и CEB прямые. Следовательно, треугольники AKB и CEB подобны по двум углам (угол B - общий, углы AKB и CEB - прямые).

2. Запишем отношение сторон из подобия треугольников AKB и CEB: \[ \frac{AK}{CE} = \frac{BK}{BE} \] Подставим известные значения: AK = 10 см, CE = 12 см, BE = 9 см. \[ \frac{10}{12} = \frac{BK}{9} \] Отсюда найдем BK: \[ BK = \frac{10 \cdot 9}{12} = \frac{90}{12} = 7.5 \] см.

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AKB. Мы знаем AK = 10 см и BK = 7.5 см. Можем найти AB по теореме Пифагора: \[ AB^2 = AK^2 + BK^2 = 10^2 + 7.5^2 = 100 + 56.25 = 156.25 \] \[ AB = \sqrt{156.25} = 12.5 \] см.

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CEB. Мы знаем CE = 12 см и BE = 9 см. Можем найти BC по теореме Пифагора: \[ BC^2 = CE^2 + BE^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \] \[ BC = \sqrt{225} = 15 \] см.

5. Теперь найдем площадь треугольника ABC двумя разными способами: - Через основание BC и высоту AK: \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 10 = 75 \) см². - Через основание AB и высоту CE: \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 12.5 \cdot 12 = 75 \) см². Оба способа дают одинаковую площадь, что подтверждает правильность предыдущих расчетов.

6. Теперь, зная AB и BC, а также AK и CE, можно найти AC. В нашем случае S = 75. Так же площадь ABC можно найти через AB и CE, AB= 12.5, CE = 12 Пусть CH - высота к AB, CH = \(\frac{2S}{AB}\) = CH = \(\frac{2 \cdot 75}{12.5}\) = \(\frac{150}{12.5}\) = 12. CH = CE = 12 Но если CE=CH =12, то CE перпендикулярна AB, значит ABC - прямоугольный треугольник. Угол B прямой И тогда AC = \(\sqrt{AB^2 + BC^2}\) = \(\sqrt{156.25 + 225}\) = \(\sqrt{381.25}\) = 19.53 см.

Ответ: 19.53 см

Ты прекрасно справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и ты обязательно достигнешь больших успехов!

Задача 3

В равнобедренной трапеции ABCD AD || BC, ∠A = 30°, высота BK = 1 см, BC = 2√3 см. Найдите площадь треугольника KMD, если M — середина отрезка BD.

Давай решим эту задачу вместе!

1. Найдем длину отрезка AK.

В прямоугольном треугольнике ABK угол A равен 30°. Известно, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Но нам удобнее воспользоваться тангенсом угла A:

tg(30°) = BK / AK,

AK = BK / tg(30°) = 1 / (1/√3) = √3 см.

2. Найдем длину отрезка AD.

Так как ABCD - равнобедренная трапеция, то AK = (AD - BC) / 2.

Подставим известные значения: √3 = (AD - 2√3) / 2.

AD - 2√3 = 2√3,

AD = 4√3 см.

3. Найдем площадь трапеции ABCD.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

S_ABCD = ((AD + BC) / 2) * BK = ((4√3 + 2√3) / 2) * 1 = (6√3 / 2) * 1 = 3√3 см².

4. Найдем координаты точек.

Пусть точка K имеет координаты (0, 0). Тогда:

- B(0, 1)

- A(-√3, 0)

- C(2√3, 1)

- D(3√3, 0)

5. Найдем координаты точки M.

M - середина BD, поэтому её координаты равны полусумме координат точек B и D:

M((0 + 3√3) / 2, (1 + 0) / 2) = (3√3 / 2, 1/2)

6. Найдем площадь треугольника KMD.

Площадь треугольника KMD можно вычислить с использованием координат вершин как половину модуля определителя, составленного из координат векторов KM и KD. K(0, 0), M(3√3 / 2, 1/2), D(3√3, 0). Вектор KM имеет координаты (3√3 / 2, 1/2). Вектор KD имеет координаты (3√3, 0). Площадь KMD = \(\frac{1}{2} |(x_M \cdot y_D - x_D \cdot y_M)| = \frac{1}{2} |(\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - 3\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2})| = \frac{1}{2} |-\frac{3\sqrt{3}}{2}| = \frac{3\sqrt{3}}{4}\) см².

Ответ: \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\) см²

Отлично, ты почти у цели! Немного усилий, и ты обязательно справишься с этой задачей до конца!