На стороне АС как на основании по разные стороны от нее построены два равнобедренных треугольника АВС и АМС. Прямая ВМ пересекает сторону АС в точке К. Найдите длину отрезка АК, если периметр ДАВС равен 40 см, а его боковая сторона на 7 см меньше основания.

Пусть основание равнобедренного треугольника ABC равно $$b$$, а боковая сторона $$a$$. По условию $$a = b - 7$$. Периметр треугольника $$P = b + 2a = b + 2(b - 7) = 3b - 14$$. Так как $$P = 40$$ см, то $$3b - 14 = 40$$, откуда $$3b = 54$$, и $$b = 18$$ см. Следовательно, основание $$AC = 18$$ см. В равнобедренном треугольнике ABC, BM является медианой, биссектрисой и высотой, так как M - вершина равнобедренного треугольника, построенного на основании AC. Следовательно, BM перпендикулярно AC и делит AC пополам. Точка K совпадает с точкой M. Таким образом, $$AK = KC = AC / 2 = 18 / 2 = 9$$ см.