15. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD=4, DC=9. Площадь треугольника АВС равна 65. Найдите площадь треугольника АBD.

Пусть $$S_{ABC}$$ – площадь треугольника $$ABC$$, $$S_{ABD}$$ – площадь треугольника $$ABD$$, $$S_{DBC}$$ – площадь треугольника $$DBC$$. Тогда $$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{DBC}$$. Также, треугольники $$ABD$$ и $$DBC$$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $$B$$ к стороне $$AC$$. Поэтому отношение их площадей равно отношению длин оснований $$AD$$ и $$DC$$: $$\frac{S_{ABD}}{S_{DBC}} = \frac{AD}{DC} = \frac{4}{9}$$ $$S_{DBC} = \frac{9}{4} S_{ABD}$$ Известно, что $$S_{ABC} = 65$$, следовательно: $$S_{ABD} + S_{DBC} = 65$$ $$S_{ABD} + \frac{9}{4} S_{ABD} = 65$$ $$\frac{4}{4} S_{ABD} + \frac{9}{4} S_{ABD} = 65$$ $$\frac{13}{4} S_{ABD} = 65$$ $$S_{ABD} = \frac{4}{13} * 65$$ $$S_{ABD} = 4 * 5$$ $$S_{ABD} = 20$$ Ответ: **20**