На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = 2, DC = 7. Площадь треугольника АВС равна 54. Найдите площадь треугольника BCD.

Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как длины их оснований.

Площадь треугольника ABC равна 54.

AD = 2, DC = 7, AC = AD + DC = 2 + 7 = 9.

Треугольники ABC и BCD имеют общую высоту, проведенную из вершины B к стороне AC. Тогда площади этих треугольников относятся как длины их оснований AC и DC:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{BCD}} = \frac{AC}{DC}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{54}{S_{BCD}} = \frac{9}{7}$$

Выразим площадь треугольника BCD:

$$S_{BCD} = \frac{54 \cdot 7}{9} = \frac{6 \cdot 7}{1} = 42$$

Ответ: 42