На стороне BC треугольника ABC отмечена точка E так, что BE = 9, CE = 4. Медиана BM пересекает отрезок AE в точке P. Известно, что ∠BEA = ∠APM. Найдите BM.

Так как A, P, E лежат на одной прямой, а B, P, M — на одной прямой, углы ∠APM и ∠BPE вертикальные, поэтому равны. По условию ∠BEA = ∠BPE. Следовательно, в треугольнике BPE равны углы при E и P, значит, противоположные им стороны равны: BP = BE = 9.

Поскольку BM — медиана, AM = MC. В треугольнике AMC точка P лежит на BM и на AE. По теореме Менелая для треугольника BMC и секущей A–P–E (где A, M, C лежат на одной прямой), либо непосредственно из отношения площадей, получаем BP:PM = 9:2: на стороне BC имеем BE:EC = 9:4, а AM:MC = 1:1. Поэтому BP:PM = (BE:EC)·(MC:AM) = 9:4? Исправим соотношение по координатам: положим A=(0,0), C=(2,0), M=(1,0). Точка E делит BC в отношении BE:EC=9:4, поэтому E=(4B+9C)/13. Пересечение AE с BM даёт BP:PM = 9:2.

Тогда BM = BP + PM = BP·(11/9) = 9·(11/9) = 11.

Ответ: 11.