На стороне CD и диагонали AC параллелограмма ABCD лежат точки P и E так, что DP:PC = 3:2, AE:EC = 4:3. Вырази вектор EP через векторы \(\vec{a}=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec{b}=\overrightarrow{AD}\).

Question

Вопрос:

Фото задания

На стороне CD и диагонали AC параллелограмма ABCD лежат точки P и E так, что DP:PC = 3:2, AE:EC = 4:3. Вырази вектор EP через векторы \(\vec{a}=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec{b}=\overrightarrow{AD}\).

Accepted Answer

Положим начало в точке A. Тогда \(\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}\), а \(\overrightarrow{CD}=-\vec{a}\).

Из отношения \(DP:PC=3:2\) следует, что точка P делит сторону DC в отношении 3:2 от D к C:

\[\overrightarrow{AP}=\vec{b}+\frac{3}{5}\vec{a}.\]

Из отношения \(AE:EC=4:3\) следует:

\[\overrightarrow{AE}=\frac{4}{7}(\vec{a}+\vec{b}).\]

Вычтем радиус-вектор точки E из радиус-вектора точки P:

\[\overrightarrow{EP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AE}=\left(\frac{3}{5}-\frac{4}{7}\right)\vec{a}+\left(1-\frac{4}{7}\right)\vec{b}=\frac{1}{35}\vec{a}+\frac{3}{7}\vec{b}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{EP}=\frac{1}{35}\vec{a}+\frac{3}{7}\vec{b}\).