658 На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е. Прямые АЕ И ВС пересекаются в точке F. Найдите: а) EF и ЕС, если АВ = 8 см, AD = 5 см, CF = 2 см. и FC, если DE = 8 см, ЕС = 4 см, ВС = 7 см, АЕ = 10 см; б) DE

Рассмотрим решение задачи по геометрии.

а) Дано: ABCD - параллелограмм, AB = 8 см, AD = 5 см, CF = 2 см.

Найти: EF и EC.

Решение:

1. BC = AD = 5 см (противоположные стороны параллелограмма)

2. BF = BC + CF = 5 + 2 = 7 см

3. ΔABF ~ ΔECF (по двум углам: ∠AFB = ∠EFC как вертикальные, ∠BAF = ∠CEF как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AE)

4. Из подобия треугольников следует пропорция:$$\frac{EF}{AF} = \frac{CF}{BF} = \frac{EC}{AB}$$

5. $$\frac{CF}{BF} = \frac{2}{7}$$, следовательно, $$\frac{EC}{AB} = \frac{2}{7}$$

6. $$EC = \frac{2}{7} \cdot AB = \frac{2}{7} \cdot 8 = \frac{16}{7}$$ см

7. $$EC = 2\frac{2}{7}$$ см

8. $$\frac{EF}{AF} = \frac{2}{7}$$, следовательно, $$EF = \frac{2}{7}AF$$

Для нахождения EF нам нужно найти AF.

Но для решения данной задачи недостаточно данных, чтобы найти AF и, следовательно, EF. Предположим, что задача требует найти только EC.

Ответ: $$EC = \frac{16}{7} \text{ см} = 2\frac{2}{7} \text{ см}$$, недостаточно данных для нахождения EF.

б) Дано: DE = 8 см, EC = 4 см, BC = 7 см, AE = 10 см.

Найти: FC

Решение:

1. CD = DE + EC = 8 + 4 = 12 см

2. AB = CD = 12 см (противоположные стороны параллелограмма)

3. ΔABF ~ ΔECF (по двум углам: ∠AFB = ∠EFC как вертикальные, ∠BAF = ∠CEF как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AE)

4. Из подобия треугольников следует пропорция: $$\frac{EF}{AF} = \frac{CF}{BF} = \frac{EC}{AB}$$

5. Пусть FC = x, тогда BF = BC + FC = 7 + x

6. $$\frac{CF}{BF} = \frac{EC}{AB}$$, следовательно, $$\frac{x}{7 + x} = \frac{4}{12}$$

7. Упростим пропорцию: $$\frac{x}{7 + x} = \frac{1}{3}$$

8. Решим уравнение: 3x = 7 + x

9. 2x = 7

10. x = 3.5 см

11. FC = 3.5 см

Ответ: FC = 3.5 см